Coordonnées de Montpellier: 43°36'43''N 3°52'38''E
Je suis le coordinateur du gdr platon qui a été renouvelé en 2023… pour un an.
Je suis maitre de conférence titulaire à
l'I3M de l'université de Montpellier.
Si vous voulez me contacter, voyez donc mes coordonnées
ci-dessus.
Vous pouvez consulter mon cv et ma liste de publications.
Mon domaine de recherche principal se situait en géométrie Riemannienne. L’aventure mathématique m’a depuis fait découvrir le monde vaste des géométries de Finsler.
Mes recherches actuelles se situent dans les thèmes suivants:
Les géométries de Hilbert sont des généralisations du modèle projectif (appelé également modèle de Klein) de l'espace Hyperbolique. Elles possèdent naturellement une structure de variété Finslerienne. Elles admettent une structure d'espace métrique de longueur. Je m'intéresse tout particulièrement à celles d'entre elles qui sont hyperboliques au sens de Gromov, car pour moi elles représentent les géométries finsleriennes les plus proche des géométries riemanniennes de courbure négative constante. Cette idée s'appuie sur les résultats que nous avons obtenus concernant le bas du spectre, mais également l'aire des triangles idéaux et l'entropie volumique.
Concernant le bas du spectre, après avoir caractériser sa nullité et obtenu un majorant uniforme, j'aimerais montrer que ce majorant n'est atteint que par la géométrie hyperbolique. Quant à la nullité j'aimerais terminer sa caractérisation en terme de régularité du bord, notamment en infirmant ou confirmant mon hypothèse statuant que seules les convexes admettant un polytopes dans la fermeture de leur orbite par l'action du groupe des homographies sont de bas du spectre nul.
Parallèlement j'étudie l'entropie. On conjecture que celle-ci est toujours plus petite que $n-1$. Mon travail le plus récent montre le lien existant entre l'entropie volumique et un invariant du convexe, son approximabilité. Cela me permet de démontrer la conjecture en dimension 2 et 3. La méthode employée implique également que l'entropie volumique n'est généralement pas une limite. Dans un article antérieur en collaboration avec G. Berck et A. Bernig on donne une équivalent du volume des boules pour une familles de convexe dont l'entropie est n-1 et on démontre la conjecture en dimension $2$ avec une méthode totalement différente. Pour les dimensions supérieures à 3, la question reste ouverte. En collaboration avec Cormac Walsh nous avons enfin obtenu la majoration de l'entropie en toute dimension !
En combinant un résultat récent de A. Savo et P. Guerini avec un résultat plus ancien de Cheng, il s'avère que le spectre des grandes boules de l'espace hyperbolique converge vers le bas du spectre du laplacien de l'espace entier à une vitesse inversement proportionnelle au carré du rayon de la boule. C'est le même phénomène que j'avais observé au cours de mes travaux concernant le spectre macroscopique des nilvariétés. C'est donc tout naturellement que j'essaie d'obtenir un équivalent précis de la différence entre le bas du spectre de l'espace et le bas du spectre des grandes boules.
En ce qui concerne les sphères, en courbure constante ce sont des sphères ordinaires; ll est à noter que modulo une dilatation faisant intervenir l'entropie, elles ont toutes le même spectre. A présent si l'on regarde le revêtement universel d'une variété compacte de courbure strictement négative, les grandes sphères ressemblent au bord. J'essaie donc de trouver un équivalent du spectre des grandes sphères qui, selon moi, devrait faire intervenir l'entropie.
Pour résoudre ces deux problèmes je tente une approche combinant une convergence à deux échelles à la G. Allaire et G. Nguetseng ainsi que les travaux de G. Knieper.
Dans mes travaux concernant le spectre des nilvariétés, j'ai démontré une inégalité faisant intervenir le volume asymptotique des grandes boules du revêtement universel d'une nilvariété, caractérisant certaine métriques. Cependant, au regard des résultats obtenu par D. Burago et S. Ivanov concernant le volume asymptotique des tores (que j'arrive également à ré-obtenir en dimension 2), je ne crois pas que cette inégalité soit la meilleure. Je pense que l'on peut obtenir mieux, et peut-être même caractériser les métriques invariantes à gauche par ce biais.
Ce problème est selon moi vraiment Sous-riemannien. C'est pourquoi, une de mes approches consiste à me concentrer sur les métriques sous-riemanniennes et non pas riemanniennes.
Analyse fonctionnelle en M1, géométrie simple en L et Inégalités géométriques en M2.
Pendant la rédaction de ma thèse, si je me défoulais parfois avec xbill, je m'initiais également aux délices de la rédaction sur ordinateur avec TeX/LaTeX . En suivant ce liens vous accéderez à mes macros en LaTeX .
Webmestre: Constantin Vernicos