Constantin Vernicos
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Département de mathématiques - IMAG
Université de Montpellier
Case Courrier 051
Place Eugène Bataillon
F-34095 Montpellier Cedex
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(+ 33) - 4 67 14 38 99
Courriel:
Constantin.Vernicos (le symbole nécessaire) umontpellier.fr

Coordonnées de Montpellier: 43°36'43''N 3°52'38''E

Actualité

Au second semestre 2019-2020 je serais en délégation au sein de l’équipe TROPICAL de l’INRIA Paris Saclay. Celle-ci s’est bien evidemment transformée en télédélégation...

Position actuelle

Je suis maitre de conférence titulaire à l'I3M de l'université de Montpellier.
Si vous voulez me contacter, voyez donc mes coordonnées ci-dessus. Vous pouvez consulter mon cv et ma liste de publications.

Recherche

Mon domaine de recherche principal se situait en géométrie Riemannienne. L’aventure mathématique m’a depuis fait découvrir le monde vaste des géométries de Finsler.

Mes recherches actuelles se situent dans les thèmes suivants:

  1. Géométries de Hilbert

    Les géométries de Hilbert sont des généralisations du modèle projectif (appelé également modèle de Klein) de l'espace Hyperbolique. Elles possèdent naturellement une structure de variété Finslerienne. Elles admettent une structure d'espace métrique de longueur. Je m'intéresse tout particulièrement à celles d'entre elles qui sont hyperboliques au sens de Gromov, car pour moi elles représentent les géométries finsleriennes les plus proche des géométries riemanniennes de courbure négative constante. Cette idée s'appuie sur les résultats que nous avons obtenus concernant le bas du spectre, mais également l'aire des triangles idéaux et l'entropie volumique.

    Concernant le bas du spectre, après avoir caractériser sa nullité et obtenu un majorant uniforme, j'aimerais montrer que ce majorant n'est atteint que par la géométrie hyperbolique. Quant à la nullité j'aimerais terminer sa caractérisation en terme de régularité du bord, notamment en infirmant ou confirmant mon hypothèse statuant que seules les convexes admettant un polytopes dans la fermeture de leur orbite par l'action du groupe des homographies sont de bas du spectre nul.

    Parallèlement j'étudie l'entropie. J'ai mis à jour le lien existant entre l'entropie volumique et un invariant du convexe, son approximabilité. Cela me permet de démontrer la conjecture en dimension 2 et 3. La méthode employée implique également que l'entropie volumique n'est généralement pas une limite. Dans un article antérieur en collaboration avec G. Berck et A. Bernig on donne une équivalent du volume des boules pour une familles de convexe dont l'entropie est n-1 et on démontre la conjecture en dimension $2$ avec une méthode totalement différente. Pour les dimensions supérieures à 3, la question reste ouverte pour l'asymptotique du volume. En collaboration avec Cormac Walsh nous avons enfin obtenu la majoration de l'entropie en toute dimension !

  2. Spectre des sphères et des boules en courbure négative

    En combinant un résultat récent de A. Savo et P. Guerini avec un résultat plus ancien de Cheng, il s'avère que le spectre des grandes boules de l'espace hyperbolique converge vers le bas du spectre du laplacien de l'espace entier à une vitesse inversement proportionnelle au carré du rayon de la boule. C'est le même phénomène que j'avais observé au cours de mes travaux concernant le spectre macroscopique des nilvariétés. C'est donc tout naturellement que j'essaie d'obtenir un équivalent précis de la différence entre le bas du spectre de l'espace et le bas du spectre des grandes boules.

    En ce qui concerne les sphères, en courbure constante ce sont des sphères ordinaires; ll est à noter que modulo une dilatation faisant intervenir l'entropie, elles ont toutes le même spectre. A présent si l'on regarde le revêtement universel d'une variété compacte de courbure strictement négative, les grandes sphères ressemblent au bord. J'essaie donc de trouver un équivalent du spectre des grandes sphères qui, selon moi, devrait faire intervenir l'entropie.

    Pour résoudre ces deux problèmes je tente une approche combinant une convergence à deux échelles à la G. Allaire et G. Nguetseng ainsi que les travaux de G. Knieper.

  3. Volume asymptotique des nilvariétés

    Dans mes travaux concernant le spectre des nilvariétés, j'ai démontré une inégalité faisant intervenir le volume asymptotique des grandes boules du revêtement universel d'une nilvariété, caractérisant certaine métriques. Cependant, au regard des résultats obtenu par D. Burago et S. Ivanov concernant le volume asymptotique des tores (que j'arrive également à ré-obtenir en dimension 2), je ne crois pas que cette inégalité soit la meilleure. Je pense que l'on peut obtenir mieux, et peut-être même caractériser les métriques invariantes à gauche par ce biais.

    Ce problème est selon moi vraiment Sous-riemannien. C'est pourquoi, une de mes approches consiste à me concentrer sur les métriques sous-riemanniennes et non pas riemanniennes.

  4. Transport optimal

    Comme nombre d'autres géomètres riemannien j'ai bien été forcé de me mettre au transport de masse afin de comprendre un peu les notions d'espace de courbure de Ricci minorées introduites par C. Villani, J. Lott et K.T. Sturm faisant suite aux travaux de Y. Brenier, R.J. McCann, D. Cordero-Erausquin, M. Schmuckenschläger. Ainsi j'essaye de comprendre si ces définitions s'appliquent aux géométries de Hilbert ci-dessus mentionnées (en ce moment je pense que non :) ). Cependant en travaillant sur la refraction dans les espaces vectoriels normés j’ai trouvé un exemple de surface compacte convexe d’une tel espace qui n’admet pas de courbure minorée. La raison principale étant un phénomène de branchement. Cependant d’un point de vue de géomètre métrique je trouve cela assez déplaisant qu’une definiton de minoration de courbure ne puisse pas s’aplliquer dans un cas simple. On remarquera qu’une partie des travaux récent en analyse sur les variétés se sont evertués à scrupuleusement exclure les géométries de Finsler, pour éviter justement le type de souci que mon exemple fait apparaître.

Enseignement

En 2019-2020, au premier semestre je suis en délégation au CNRS. Au second semestre à l’INRIA Saclay.

Tex/Latex

Pendant la rédaction de ma thèse, si je me défoulais parfois avec xbill, je m'initiais également aux délices de la rédaction sur ordinateur avec TeX/LaTeX . En suivant ce liens vous accéderez à mes macros en LaTeX .

Webmestre: Constantin Vernicos